社群網路筆記 拍賣

定義

  • True Value - 每個 bidder(買家) 都有自己的估價,買家不會買超過自己估價的東西

四種拍賣方式

  1. Ascending-bid auction - 買家喊價,越出價越高,最高價者得標
  2. Descending-bid auction - 賣家喊價,價格越喊越低,直到有人接受
  3. First-price sealed-bid auctions - 同時出價,價格最高者得標,並付出喊價的價格
  4. Second-price sealed-bid auctions - 同時出價,價格最高者得標,並付出喊價次高者喊的價格

拍賣適合的時機

!! 買賣雙方都不知道真實的價格 !!

如果買方知道賣方的估價,就直接用賣方估價買就好了
如果賣方知道買方的估價,就直接用買方估價賣就好了

拍賣方式的關係

Descending-bid auction 跟 First-price sealed-bid auctions 在數學上是一樣的
因為假設 bidder 估價為 b,當賣方逐步降價時,如果降到有 bidder 能接受的價格 b 時,該 bidder 就會買下
first-descending

Ascending-bid auction 跟 Second-price sealed-bid auctions 在數學上是一樣的 因為假設 bidder 估價為 b,當買方逐步出價時,估價最高的 bidder 將會贏的拍賣,且因為是逐步出價的,所以最高出價的買方只要贏過次高出價的買方就好了,不需要出到自己的估價,因此跟 Second-price sealed-bid auctions 相同,贏得拍賣,並付出次高買方喊的價格即可
second-ascending

!!! 改變規則會改變行為,因此 first-price 跟 second-prie 的收益會相等 !!!

數學符號

  • bidder - 買家
  • $b_i$ - 第 $i$ 個買家的出價
  • $v_i$ - 第 $i$ 個買家的估價
  • $b_i$ 的 payoff
    • 如果贏了,則是 $v_i - b_i$
    • 如果輸了,則是 $0$
  • truthful bidding - 出的價格就是估價

Second-price auctions

!!! Sealed-bid Second-price price auction 中,每個 bidder 的 dominant strategy 就是出自己的估價

Tie breaking

如果前兩大的出價相等的話,要怎麼決定哪個能得標呢?

  1. 用說好的順序決定輸贏
  2. 假設同樣價差之間差距 $\varepsilon$,而 $\varepsilon\approx0$

證明 truthful bidding 在 second-price sealed-bid auctions 中視最好的策略

觀察

  1. 要證明 $b_i=v_i$ 時,沒有其他 $b_i'$ 能夠比 $b_i$ 還要好
  2. $b_i$ 有兩種方式可以做偏移,上升或下降
  3. $b_i$ 只影響輸贏,不影響 payoff

分段證明

第一章圖是教科書的證明,第二張圖是我自己的想法
second-bid-proof
second-bid-proof-2

First-price auctions

  • 如沒有贏, payoff 就是 0
  • 如果贏了, payoff 就是 $v_i-b_i$

因為 payoff 會隨 $b_i$(出價) 改變,因此 truthfulness 就不再是 dominant strategy
也因此我們要把 bid 壓越地越好,但是要盡可能的贏得拍賣

All-pay auction - 即使沒贏,也要付出代價

  • 如出價 $b_i$ 沒有贏, payoff 是 $-b_i$
  • 如出價 $b_i$ 贏了, payoff 就是 $v_i-b_i$

all pay auction 的 optimal bid 跟 first-price auction 類似

Common Values & winner’s curse

  • Common Values - 物品有實際價值,但沒人知道實際價值是多少,像是油田等等
  • winner’s curse - 如果買家的估價比實際價值高,那當買家實際開採或轉賣時,很可能賠錢,又因為是最高者得,所以買家高估實際價值的可能性比較高
  • 也因此就算是 second-price auction,truthful bidding 也不會是 dominant strategy, 因為物品具有實際價值
  • 因此 購買時要考慮 winner’s curse

模型

  • $v_i$ - 估價
  • $v$ - 實際價值,但沒人知道實際價值是多少
  • $x_i$ - 誤差 $v_i = v + x_i$

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